Lineare Algebra Beispiele

$10 x + 2 y = 6$ , $- 25 x + k y = - 14$

Schritt 1

Schreibe das Gleichungssystem in Matrixform.

$[\begin{array}{c} 0 & 10 & 2 & 6 \\ y & - 25 & 0 & - 14 \end{array}]$

Schritt 2

Ermittele die normierte Zeilenstufenform.

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Schritt 2.1

Swap $R_{2}$ with $R_{1}$ to put a nonzero entry at $1, 1$ .

$[\begin{array}{c} y & - 25 & 0 & - 14 \\ 0 & 10 & 2 & 6 \end{array}]$

Schritt 2.2

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{y}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

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Schritt 2.2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{y}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{y}{y} & \frac{- 25}{y} & \frac{0}{y} & \frac{- 14}{y} \\ 0 & 10 & 2 & 6 \end{array}]$

Schritt 2.2.2

Vereinfache $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{25}{y} & 0 & - \frac{14}{y} \\ 0 & 10 & 2 & 6 \end{array}]$

Schritt 2.3

Multiply each element of $R_{2}$ by $\frac{1}{10}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

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Schritt 2.3.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $\frac{1}{10}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{25}{y} & 0 & - \frac{14}{y} \\ \frac{0}{10} & \frac{10}{10} & \frac{2}{10} & \frac{6}{10} \end{array}]$

Schritt 2.3.2

Vereinfache $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{25}{y} & 0 & - \frac{14}{y} \\ 0 & 1 & \frac{1}{5} & \frac{3}{5} \end{array}]$

Schritt 2.4

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + \frac{25}{y} R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

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Schritt 2.4.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + \frac{25}{y} R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 + \frac{25}{y} \cdot 0 & - \frac{25}{y} + \frac{25}{y} \cdot 1 & 0 + \frac{25}{y} \cdot \frac{1}{5} & - \frac{14}{y} + \frac{25}{y} \cdot \frac{3}{5} \\ 0 & 1 & \frac{1}{5} & \frac{3}{5} \end{array}]$

Schritt 2.4.2

Vereinfache $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{5}{y} & \frac{1}{y} \\ 0 & 1 & \frac{1}{5} & \frac{3}{5} \end{array}]$

Schritt 3

Verwende die Ergebnismatrix, um die endgültigen Lösungen für das Gleichungssystem anzugeben.

$k + \frac{5 y}{y} = \frac{1}{y}$

$x + \frac{y}{5} = \frac{3}{5}$

Schritt 4

Löse die Gleichung nach $k$ auf.

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Schritt 4.1

Bringe alle Terme, die Variablen enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 4.1.1

Subtrahiere $\frac{1}{y}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$k + \frac{5 y}{y} - \frac{1}{y} = 0$

$x + \frac{y}{5} = \frac{3}{5}$

Schritt 4.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 4.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$k + \frac{5 y}{y} - \frac{1}{y} = 0$

$x + \frac{y}{5} = \frac{3}{5}$

Schritt 4.1.2.2

Dividiere $5$ durch $1$ .

$k + 5 - \frac{1}{y} = 0$

$x + \frac{y}{5} = \frac{3}{5}$

$k + 5 - \frac{1}{y} = 0$

$x + \frac{y}{5} = \frac{3}{5}$

$k + 5 - \frac{1}{y} = 0$

$x + \frac{y}{5} = \frac{3}{5}$

Schritt 4.2

Bringe alle Terme, die nicht $k$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 4.2.1

Subtrahiere $5$ von beiden Seiten der Gleichung.

$k - \frac{1}{y} = - 5$

$x + \frac{y}{5} = \frac{3}{5}$

Schritt 4.2.2

Addiere $\frac{1}{y}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$k = - 5 + \frac{1}{y}$

$x + \frac{y}{5} = \frac{3}{5}$

$k = - 5 + \frac{1}{y}$

$x + \frac{y}{5} = \frac{3}{5}$

$k = - 5 + \frac{1}{y}$

$x + \frac{y}{5} = \frac{3}{5}$

Schritt 5

Subtrahiere $\frac{y}{5}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = \frac{3}{5} - \frac{y}{5}$

$k = - 5 + \frac{1}{y}$

Schritt 6

Die Lösung ist die Menge geordneter Paare, die das System erfüllen.

$(- 5 + \frac{1}{y}, \frac{3}{5} - \frac{y}{5}, y)$

Schritt 7

Das Zerlegen eines Lösungsvektors durch Umstellen jeder Gleichung, die in der reduzierten Zeilenstufenform der erweiterten Matrix wiedergegeben ist, durch Auflösen nach der abhängigen Variablen in jeder Zeile, ergibt die Vektorgleichung.

$X = [\begin{array}{c} k \\ x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} - 5 + \frac{1}{y} \\ \frac{3}{5} - \frac{y}{5} \\ y \end{array}]$